Considere f e
funções reais de variável real, deriváveis, onde
. Qual o valor da derivada da função
para
?
Passo 1
O enunciado: temos funções reais diferenciáveis f e f′ com f(1)=f′(1)=1, e precisamos achar a derivada de h(x)=√(f(1+sen 2x)) em x=0, usando regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Definimos a composição em três níveis: seja a(x)=1+\sin(2x), b(x)=f(a(x)) e h(x)=√(b(x)). Pela regra da cadeia, temos h’(x)=\frac{1}{2√(b(x))}·b’(x) e b’(x)=f’(a(x))·a’(x).
Calculamos a′(x): como a(x)=1+\sin(2x), então a′(x)=2\cos(2x), logo a′(0)=2\cos(0)=2.
Calculamos a′(x): como a(x)=1+\sin(2x), então a′(x)=2\cos(2x), logo a′(0)=2\cos(0)=2.
Passo 3
Agora b′(0)=f’(a(0))·a′(0)=f’(1)·2=1·2=2, pois a(0)=1 e f’(1)=1.
Por fim, h’(0)=\frac{1}{2√(b(0))}·b’(0)=\frac{1}{2√(f(1))}·2=\frac{2}{2·1}=1.
Por fim, h’(0)=\frac{1}{2√(b(0))}·b’(0)=\frac{1}{2√(f(1))}·2=\frac{2}{2·1}=1.
Resposta
1