Dada a definição: \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0^{+}}(1+\mathrm{x})^{\frac{1}{\mathrm{x}}} e, também, \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}= \lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}. Determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado fornece as definições (peguei estas igualzinhas do enunciado):
  • \mathrm{e}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}.
  • Também \mathrm{e}=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}.
O que precisa ser determinado:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}.

Passo 2

Reescrevo a expressão usando propriedade de potências: para todo x tal que as expressões façam sentido,
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}=\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{3}.
Isto é só usar que (a^{x})^{3}=a^{3x}.

Passo 3

Agora uso a informação dada: sabe-se que
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}.
Sejam a(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Então a(x)\to\mathrm{e} quando x\to+\infty. Como a função f(t)=t^{3} é contínua (polinômios são contínuos para todo t), vale a regra de limite
\lim_{x\to+\infty}f\bigl(a(x)\bigr)=f\!\left(\lim_{x\to+\infty}a(x)\right).
Aplicando com f(t)=t^{3} e a(x) acima, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{3}=\bigl(\mathrm{e}\bigr)^{3}.

Passo 4

Para reforçar (método alternativo, útil em provas): faço o caminho pelo logaritmo natural para ver o limite do expoente. Defina
y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}.
Então
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Faço a substituição u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to 0^{+}. Assim
\ln y(x)=3\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
É um limite clássico que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1
— isso vem do fato que a derivada de \ln(1+u) em u=0 é 1, ou da expansão \ln(1+u)=u-\tfrac{u^{2}}{2}+\cdots. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=3\cdot 1=3.
Como exponenciação é contínua, disso segue
\lim_{x\to+\infty}y(x)=\mathrm{e}^{3}.

Passo 5

Interpretação final e dica prática: a expressão \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x} é simplesmente o cubo de \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Como \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x} tende a \mathrm{e}, o cubo tende a \mathrm{e}^{3}. Na prova, se vir uma constante multiplicando x no expoente (aqui 3x), tente reescrever como uma potência inteira do limite conhecido \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x} — é o caminho mais rápido.

Resposta

\mathrm{e}^{3}

Exercícios relacionados