Calcule os limites:
(f) lim x 1 1-cos (2 x^3-2)x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo, e para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é muito útil quando encontramos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2x^3 - 2 = 2(1)^3 - 2 = 0 na expressão:
1 - cos(0) = 1 - 1 = 0
Então, o numerador fica:
x - 1 = 1 - 1 = 0
E o denominador também:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se limx to a f'(x)g'(x) resulta em f'(x) = ddx[1 - cos(2x^3 - 2)] = sin(2x^3 - 2) cdot 6x^2 ou g'(x) = ddx(x - 1) = 1 , então podemos calcular o limite das derivadas:
Aqui, e . Vamos derivar cada um:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra:
limx to 1 f'(x)g'(x) = limx to 1 6x^2 sin(2x^3 - 2)1
Substituindo 6(1)^2 sin(0) = 6 cdot 1 cdot 0 = 0 :

Resposta

O limite é igual a 0.

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