Calcule os limites.
f)
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Passo 1
Nessa questão a gente tem que calcular o limite de \
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \]
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \]
quando x se aproxima de 1. O conteúdo aqui é limites de funções, especialmente forma indeterminada 0/0 e uso de racionalização para analisar o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a forma substituindo x=1: \
[ \sqrt{1}-\sqrt{1+3} = 1-2 = -1, \quad 1-1=0 ]
Então dá -1/0, ou seja, é uma forma tipo não definida (está “explodindo”), mas precisamos entender melhor o sinal e ver os limites laterais.
[ \sqrt{1}-\sqrt{1+3} = 1-2 = -1, \quad 1-1=0 ]
Então dá -1/0, ou seja, é uma forma tipo não definida (está “explodindo”), mas precisamos entender melhor o sinal e ver os limites laterais.
Passo 3
Para manipular e entender o sinal, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
[
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}.
]
[
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}.
]
Passo 4
No numerador temos
[ (\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}) = x - (x+3) = -3. ]
Então a expressão fica
[ \frac{-3}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}. ]
[ (\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}) = x - (x+3) = -3. ]
Então a expressão fica
[ \frac{-3}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}. ]
Passo 5
Agora analisamos os sinais quando x→1 pelos dois lados. O fator
é sempre positivo (entre 3 e 3). Então o sinal de toda a fração vem de
:
- Para x→1^- (x<1), temos x-1<0, logo -3/(negativo·positivo)= +∞.
- Para x→1^+ (x>1), temos x-1>0, logo -3/(positivo·positivo)= -∞.
Resposta
O limite não existe, pois
e
.