Calcule os limites.
f) lim x 1 raizx-raizx+3x-1

Passo 1

Nessa questão a gente tem que calcular o limite de \
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \]
quando x se aproxima de 1. O conteúdo aqui é limites de funções, especialmente forma indeterminada 0/0 e uso de racionalização para analisar o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma substituindo x=1: \
[ \sqrt{1}-\sqrt{1+3} = 1-2 = -1, \quad 1-1=0 ]
Então dá -1/0, ou seja, é uma forma tipo não definida (está “explodindo”), mas precisamos entender melhor o sinal e ver os limites laterais.

Passo 3

Para manipular e entender o sinal, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
[
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}.
]

Passo 4

No numerador temos
[ (\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}) = x - (x+3) = -3. ]
Então a expressão fica
[ \frac{-3}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}. ]

Passo 5

Agora analisamos os sinais quando x→1 pelos dois lados. O fator raizx+raizx+3 é sempre positivo (entre 3 e 3). Então o sinal de toda a fração vem de x-1:
  • Para x→1^- (x<1), temos x-1<0, logo -3/(negativo·positivo)= +∞.
  • Para x→1^+ (x>1), temos x-1>0, logo -3/(positivo·positivo)= -∞.

Resposta

O limite não existe, pois limxto1^-raizx-raizx+3x-1=+infty e limxto1^+raizx-raizx+3x-1=-infty.

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