Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
z=x^2+y^2 quando 3 x+2 y=6

Passo 1

Estamos buscando os extremos condicionados da função z=x{2}+y{2} sujeita à restrição 3x+2y=6 usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos o multiplicador λ e a função de Lagrange:
L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambdal(3x+2y-6r)

Passo 3

Escrevemos as condições de estacionaridade (derivadas parciais iguais a zero):
partialLpartial x=2x+3lambda=0
partialLpartial y=2y+2lambda=0
partialLpartial lambda=3x+2y-6=0

Passo 4

Resolvemos o sistema:
Das duas primeiras equações temos
x=-3lambda2, y=-lambda
Substituindo em 3x+2y=6:
3l(-tfrac3lambda2r)+2(-lambda)=6implies -9lambda2-2lambda=6implies -13lambda2=6implies lambda=-1213
Logo
x=1813, y=1213

Passo 5

Calculamos o valor de z no ponto encontrado e classificamos o extremo:
z=l(tfrac1813r)^2+l(tfrac1213r)^2=324+144169=468169
Como a função z=x{2}+y{2} cresce sem limite quando nos afastamos da origem, esse ponto é um mínimo condicionado e não existe máximo condicionado sobre a reta.

Passo 6

Observamos que o único extremo condicionado é um mínimo na reta dada pela restrição.

Resposta

Mínimo condicionado em (18/13,,12/13) com z=468/169. Não existe máximo condicionado.

Exercícios relacionados