Representar um número positivo
em forma de produto de quatro fatores positivos, cuja soma seja a menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para representarmos um número positivo
como um produto de quatro fatores positivos, de tal forma que a soma desses fatores seja a menor possível. Isso está relacionado ao estudo de otimização dentro da Matemática, especificamente envolvendo propriedades de funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre médias geométrica e aritmética, além de um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos minimizar a soma de quatro números cujo produto é
. Em termos matemáticos, queremos minimizar
dado que
, onde
.
Passo 3
Aqui entra uma ferramenta muito útil chamada Desigualdade da Média Geométrica (AM-GM). Ela nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:
Passo 4
O que isso significa para o nosso problema? Queremos minimizar
. Pela desigualdade acima, temos:
Então, a menor soma possível
é
.
Passo 5
Para que essa igualdade seja alcançada, todos os fatores devem ser iguais. Ou seja:
Passo 6
Assim, os quatro fatores que multiplicados dão
e cuja soma é a menor possível são todos iguais a
.
Resposta
Os quatro fatores são iguais a
, e a soma mínima é
.