Representar um número positivo A em forma de produto de quatro fatores positivos, cuja soma seja a menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para representarmos um número positivo como um produto de quatro fatores positivos, de tal forma que a soma desses fatores seja a menor possível. Isso está relacionado ao estudo de otimização dentro da Matemática, especificamente envolvendo propriedades de funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre médias geométrica e aritmética, além de um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos minimizar a soma de quatro números cujo produto é . Em termos matemáticos, queremos minimizar dado que , onde .

Passo 3

Aqui entra uma ferramenta muito útil chamada Desigualdade da Média Geométrica (AM-GM). Ela nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:
x1 + x2 + x3 + x44 >= raiz[4]x1 times x2 times x3 times x4

Passo 4

O que isso significa para o nosso problema? Queremos minimizar S4 >= raiz[4]A implies S >= 4 times raiz[4]A . Pela desigualdade acima, temos:
Então, a menor soma possível é .

Passo 5

Para que essa igualdade seja alcançada, todos os fatores devem ser iguais. Ou seja:
x1 = x2 = x3 = x4 = raiz[4]A

Passo 6

Assim, os quatro fatores que multiplicados dão e cuja soma é a menor possível são todos iguais a .

Resposta

Os quatro fatores são iguais a , e a soma mínima é .

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