Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=x^3-5 x^7+10-x^6-x^5+1

Passo 1

O enunciado pede os limites de
f(x)=x^3-5x^7+10-,x^6-x^5+1
quando xto+infty e xto-infty, e quer saber se existe assíntota horizontal. O conteúdo aqui é análise de limites no infinito de quocientes de polinômios, usando comparação de graus e fatoração assintótica.

Passo 2

Compare os graus dos polinômios. No numerador o termo de maior grau é -5x^7 (grau 7) e no denominador é -x^6 (grau 6). Como o grau do numerador é maior que o do denominador, esperamos que lvert f(x)rverttoinfty no infinito.

Passo 3

Para ver a dependência em x de forma explícita, fatoramos pelo maior grau do numerador, x^7:
f(x) =x^7l(-5 + x^-4+10,x^-7r) x^6l(-1 - x^-1+x^-6r) =x;-5 + x^-4+10,x^-7-1 - x^-1+x^-6
Quando lvert xrverttoinfty, os termos x^-k com k>0 tendem a zero, logo
f(x)sim x;-5-1=5x

Passo 4

Dessa forma temos
limxto+inftyf(x)=limxto+infty5x=+infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty5x=-infty

Passo 5

Como nenhum desses limites é finito (não há valor numérico constante), não existe assíntota horizontal para f(x).

Resposta

limxto+inftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=-infty,
Não há assíntota horizontal.

Exercícios relacionados