Resolva o PVI
x^m y^prime+a y & =x^n, m, n in N, a in R y(x0) & =y0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x^my'+a,y = x^n, y(x0)=y0,
com m,ninN e ainR. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos lembr ar que basta escrevê-la na forma
y' + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^m (supondo xneq0), obtemos
y' + a,x^-my = x^,n-m
Aqui
P(x)=a,x^-m, Q(x)=x^,n-m

Passo 3

Caso mneq1:
integral P(x),dx = integral a,x^-m,dx = a,x^1-m1-m
Logo o fator integrante é
mu(x) = exp!l(tfraca1-m,x^1-mr)
Multiplicando a equação por mu(x) e integrando, temos
y,mu(x) = integral mu(x),x^,n-m,dx + C
Portanto a solução geral é
y(x) = e^-tfraca1-mx^1-m l[ integral x^,n-m ,e^tfraca1-mx^1-m,dx + C r]
Para determinar C, basta impor y(x0)=y0.

Passo 4

Caso m=1: a equação vira
y' + a,x^-1y = x^,n-1
Então
integral P(x),dx = integral a,x^-1,dx = aln x,
mu(x)=e^aln x=x^a
Multiplicando e integrando:
y,x^a = integral x^a,x^,n-1,dx + C = integral x^,n+a-1,dx + C = x^,n+an+a + C
Assim
y(x) = x^-al(x^,n+an+a+Cr)
Impondo y(x0)=y0
y0 = x0^-al(x0^,n+an+a+Cr) Longrightarrow C = x0^ay0-x0^,n+an+a

Resposta

Para mneq1:
y(x) = e^-tfraca1-mx^1-m l[ integral x^,n-m ,e^tfraca1-mx^1-m,dx + C r],
com C escolhido de modo que y(x0)=y0.
Para m=1:
y(x) = x^-al(x^,n+an+a +;x0^ay0-x0^,n+an+ar)

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