Exercício 4. Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões D dadas abaixo.
D é a região delimitada pela curva r=4+3 cos theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D delimitada pela curva em coordenadas polares
r = 4 + 3costheta
O conteúdo necessário é a fórmula da área em coordenadas polares, que diz
A = integral duplaD dA = integraltheta=theta1^theta2integralr=0^r=R(theta) r,dr,dtheta

Passo 2

Escrevemos a integral que dá a área de D. Como a curva r=4+3costheta é simples e positiva para todo thetain[0,2pi], temos
A = integral0^2piintegral0^4+3costheta r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integral0^4+3costheta r,dr = r^22|0^4+3costheta = 12l(4+3costhetar)^2
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A = 12integral0^2pil(4+3costhetar)^2dtheta

Passo 4

Expandimos o quadrado e separamos em termos fáceis de integrar:
(4+3costheta)^2 =16 +24costheta+9cos^2theta
Portanto
A = 12integral0^2pil(16 +24costheta+9cos^2thetar)dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^2pi16,dtheta = 16cdot2pi =32pi,
integral0^2pi24costheta,dtheta =24l[sinthetar]0^2pi=0,
integral0^2pi9cos^2theta,dtheta =9integral0^2pi1+cos2theta2,dtheta =92l[2pi+0r] =9pi
Somando,
integral0^2pi(4+3costheta)^2dtheta =32pi +0 +9pi =41pi

Passo 6

Substituindo em A:
A = 12times 41pi = 412,pi

Resposta

A = 412,pi

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