Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=x-raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede os limites
limxto+inftyl(x-raizx^2+1r) e
limxto-inftyl(x-raizx^2+1r),
além de verificar se existe assíntota horizontal. Vamos usar a técnica de racionalização do termo x-raizx^2+1.

Passo 2

Racionalizamos f(x)=x-raizx^2+1 multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
f(x) = x-raizx^2+1 = (x-raizx^2+1)(x+raizx^2+1)x+raizx^2+1 = x^2 - (x^2+1)x+raizx^2+1 = -1,x+raizx^2+1,

Passo 3

Para xto+infty, o denominador
,x+raizx^2+1sim x+x=2xto+infty.
Logo,
limxto+inftyf(x) = limxto+infty-1x+raizx^2+1 = 0

Passo 4

Para xto-infty, note que raizx^2+1=|x|raiz1+1/x^2=-x(1+o(1)). Logo
x+raizx^2+1 = x - x(1+o(1)) = -12x+o!l(tfrac1xr) ;xrightarrow[xto-infty]0^+,
e portanto
limxto-inftyf(x) = limxto-infty-1x+raizx^2+1 = -infty

Passo 5

Como limxto+inftyf(x)=0, existe assíntota horizontal y=0 para xto+infty. Para xto-infty, não há assíntota horizontal pois f(x)to-infty.

Resposta

limxto+inftyf(x)=0, limxto-inftyf(x)=-infty
Há assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.

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