Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=raizx^2-3-xx

Passo 1

O enunciado pede os limites
limxto+inftyf(x)elimxto-inftyf(x)
para a função
f(x)=raizx^2-3-xx
e verificar se existem assíntotas horizontais. Vamos usar manipulação algébrica (multiplicação pelo conjugado) e estudar o comportamento de raizx^2-3 quando xtopminfty.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx^2-3+x:
raizx^2-3-xxtimesraizx^2-3+xraizx^2-3+x

Passo 3

No numerador surge
(raizx^2-3-x)(raizx^2-3+x)=(x^2-3)-x^2=-3,
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f(x)=-3xl(raizx^2-3+xr)

Passo 4

Para xto+infty, temos raizx^2-3sim x>0, então o denominador cresce como
x(raizx^2-3+x)sim x(x+x)=2x^2to+infty,
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limxto+inftyf(x) =limxto+infty-3x(raizx^2-3+x) =0

Passo 5

Para xto-infty, raizx^2-3=|x|raiz1-3/x^2=-xl(1-tfrac32x^2+o(x^-2)r). Assim
xl(raizx^2-3+xr) =xl(-xl(1-tfrac32x^2+cdotsr)+xr) =xl(tfrac32x+o(x^-1)r) =tfrac32+o(1)
Portanto
limxto-inftyf(x) =limxto-infty-3x(raizx^2-3+x) =-33/2=-2

Passo 6

Como
limxto+inftyf(x)=0 e limxto-inftyf(x)=-2,
existem duas assíntotas horizontais: y=0 (à direita) e y=-2 (à esquerda).

Resposta

limxto+inftyf(x)=0, limxto-inftyf(x)=-2
Assíntotas horizontais: y=0 e y=-2.

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