Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=2 x+raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede os limites
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x)
para a função
f(x)=2x+raizx^2+1,
além de perguntar se existe assíntota horizontal. Vamos usar a ideia de fatorar x dentro da raiz para ver o comportamento em cada sentido.

Passo 2

Para xto+infty temos raizx^2+1=xraiz1+tfrac1x^2. Como raiz1+tfrac1x^2=1+tfrac12x^2+o(x^-2),
raizx^2+1 = xl(1+tfrac12x^2+o(x^-2)r) = x+tfrac12x+o(x^-1)
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f(x)=2x+raizx^2+1 =2x+l(x+tfrac12x+o(x^-1)r) =3x+tfrac12x+o(x^-1)
Como 3xto+infty, conclui-se
limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 3

Para xto-infty note que raizx^2+1=|x|raiz1+tfrac1x^2=-xraiz1+tfrac1x^2. Assim
raizx^2+1 =-xl(1+tfrac12x^2+o(x^-2)r) =-x-tfrac12x+o(x^-1)
e
f(x)=2x+raizx^2+1 =2x+l(-x-tfrac12x+o(x^-1)r) =x-tfrac12x+o(x^-1)
Como xto-infty domina, temos
limxto-inftyf(x)=-infty

Passo 4

Uma assíntota horizontal y=L só existe se limxtopminftyf(x)=L for finito. Como ambos os limites são infinitos, não há assíntota horizontal.

Resposta

limxto+inftyf(x)=+infty,limxto-inftyf(x)=-infty,
Não há assíntota horizontal.

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