Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x^2 d y+(2 x y-e^x) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^2,dy + l(2x,y - e^xr),dx = 0
que é uma equação de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos colocá-la em sua forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2 (assumindo xneq0), obtemos
dydx + 2x,y = e^xx^2
Aqui P(x)=tfrac2x e Q(x)=tfrace^xx^2.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral tfrac2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2 temos
x^2dydx + 2x,y = e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, pois
ddxl(x^2yr) = x^2dydx + 2x,y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
ddx(x^2y) = e^x Longrightarrow x^2y = integral e^x,dx = e^x + C
Isolando y,
y = e^x + Cx^2

Resposta

y = e^x + Cx^2

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