Expreesse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número periódico
como série e então encontrar o racional correspondente. Trata-se de um decimal misto, em que a parte inteira é
, há um algarismo não-periódico (
na posição decimal
) e depois repete o bloco “394”. Vamos usar expansão em séries e a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Separe
em parte inteira e parte fracionária:
Na parte fracionária o primeiro termo é
na casa
, e a partir da casa
repete o bloco “394”. Logo
Passo 3
Observe que
Agrupando de três em três algarismos, cada bloco “394” contribuí com
depois
, depois
, etc. Assim
Passo 4
Reconhecemos aí uma série geométrica de primeiro termo
e razão
Como
,
Passo 5
Portanto a parte fracionária fica
Colocando sobre o mesmo denominador
(note que
),
logo
Agora simplifique
. Como
, divide-se por
:
Passo 6
Finalmente,