Expreesse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
3,2394394 ldots

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número periódico
3,2394394ldots
como série e então encontrar o racional correspondente. Trata-se de um decimal misto, em que a parte inteira é 3, há um algarismo não-periódico ( 2 na posição decimal 10^-1) e depois repete o bloco “394”. Vamos usar expansão em séries e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Separe x=3,2394394ldots em parte inteira e parte fracionária:
x = 3 + 0,2394394ldots
Na parte fracionária o primeiro termo é 2 na casa 10^-1, e a partir da casa 10^-2 repete o bloco “394”. Logo
0,2394394ldots = 210 + l(0,0394394ldotsr)

Passo 3

Observe que
0,0394394ldots = 310^2 + 910^3 + 410^4 + 310^5 + 910^6 + 410^7 + cdots
Agrupando de três em três algarismos, cada bloco “394” contribuí com
310^2+910^3+410^4 = 39410^4,
depois 39410^7, depois 39410^10, etc. Assim
0,0394394ldots = sumk=1^infty39410^1+3k

Passo 4

Reconhecemos aí uma série geométrica de primeiro termo
a = 39410^4
e razão
r = 110^3
Como |r|<1,
sumk=1^infty39410^1+3k = a1-r = 39410^41-110^3 = 39410^4cdot11-11000 = 39410^4cdot1000999 = 3949990

Passo 5

Portanto a parte fracionária fica
0,2394394ldots = 210 + 3949990 = 15 + 3949990
Colocando sobre o mesmo denominador 9990 (note que 9990/5=1998),
15 = 19989990,
logo
0,2394394ldots = 1998+3949990 = 23929990
Agora simplifique tfrac23929990. Como gcd(2392,9990)=2, divide-se por 2:
23929990=11964995

Passo 6

Finalmente,
x = 3 + 11964995 = 3cdot4995 +11964995 = 14985+11964995 = 161814995

Resposta

161814995

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