Calcule as integrais triplas abaixo.
integral triplaE x y d V, onde E é o sólido delimitado pelos vértices (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0) e (0, 1, 1);

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
integral triplaE x,y,dV
onde E é o tetraedro de vértices (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0) e (0,1,1). Vamos usar a definição de integral iterada para sólidos limitados por planos, encontrando equações das faces e descrevendo E por desigualdades.

Passo 2

Identificamos três faces principais de E:
  1. No plano z=0, o triângulo de vértices (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0).
  2. No plano vertical y=1, o triângulo de vértices (0,1,0), (1,1,0), (0,1,1).
  3. Na face oblíqua que passa por (0,0,0), (1,1,0), (0,1,1). A equação desse plano é encontrada impondo y = x+z, já que esses três pontos satisfazem y=x+z.

Passo 3

Para descrever E em termos de integrais iteradas, observamos que em cada reta paralela ao eixo y temos
x>=0, z>=0, x+z<= y<=1
Além disso, para que haja algum y em [x+z,1], precisamos de x+z<=1. Assim podemos tomar a ordem das integrais como
integralx=0^1,integralz=0^1-x,integraly=x+z^1 x,y,dy,dz,dx

Passo 4

Integramos em y primeiro:
integraly=x+z^1 x,y,dy = x[y^22]y=x+z^1 = x2l(1 - (x+z)^2r)
Logo a integral vira
integral0^1!integral0^1-xx2l(1-(x+z)^2r),dz,dx

Passo 5

Agora integramos em z:
integral0^1-xl(1-(x+z)^2r),dz = (1-x) - integral0^1-x(x+z)^2dz = (1-x) - 1 - x^33 = 2 - 3x + x^33
Então a integral reduz-se a
integral0^1x2cdot2-3x+x^33,dx = 16integral0^1l(2x - 3x^2 + x^4r),dx

Passo 6

Basta calcular a integral em x:
integral0^1(2x - 3x^2 + x^4),dx = l[x^2 - x^3 + tfracx^55r]0^1 = 1 - 1 + tfrac15 = tfrac15
Multiplicando pelo fator tfrac16 obtemos
16cdot15 = 130

Resposta

130

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