Calcule as integrais triplas abaixo.
, onde
é o sólido delimitado pelos vértices
e (0, 1, 1);
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
onde
é o tetraedro de vértices
,
,
e
. Vamos usar a definição de integral iterada para sólidos limitados por planos, encontrando equações das faces e descrevendo
por desigualdades.
Passo 2
Identificamos três faces principais de
:
- No plano
, o triângulo de vértices , , . - No plano vertical
, o triângulo de vértices , , . - Na face oblíqua que passa por
, , . A equação desse plano é encontrada impondo , já que esses três pontos satisfazem .
Passo 3
Para descrever
em termos de integrais iteradas, observamos que em cada reta paralela ao eixo
temos
Além disso, para que haja algum
em
, precisamos de
. Assim podemos tomar a ordem das integrais como
Passo 4
Integramos em
primeiro:
Logo a integral vira
Passo 5
Agora integramos em
:
Então a integral reduz-se a
Passo 6
Basta calcular a integral em
:
Multiplicando pelo fator
obtemos