Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=2-x+sen(x)x+cos (x)

Passo 1

O enunciado pede os limites
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x) para
f(x)=2 - x + sin(x)x + cos(x)
O conteúdo envolvido é cálculo de limites no infinito para quociente em que os termos sin(x) e cos(x) são limitados.

Passo 2

Para tratar a forma de grau igual no numerador e no denominador, dividimos todos os termos por x. Assim,
f(x) =2x-1+sin(x)x1+cos(x)x

Passo 3

Ao fazer xto+infty, temos 2xto0, sin(x)xto0 e cos(x)xto0. Logo,
limxto+inftyf(x) =0 - 1 + 01 + 0 =-1

Passo 4

De modo análogo, quando xto-infty as frações tfrac2x, tfracsin(x)x e tfraccos(x)x também tendem a zero. Portanto,
limxto-inftyf(x) =0 - 1 + 01 + 0 =-1

Passo 5

Como ambos os limites no infinito são iguais a -1, existe uma assíntota horizontal comum dada por
y=-1

Resposta

limxto+inftyf(x)=-1
limxto-inftyf(x)=-1
Há assíntota horizontal: y=-1.

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