Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=cos (x)3 x

Passo 1

O enunciado pede os limites de
f(x)=cos(x)3x
quando xto+infty e quando xto-infty, e em seguida verificar se existe assíntota horizontal. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) e a definição de assíntota horizontal.

Passo 2

Para xto+infty, note que -1<= cos(x)<= 1. Dividindo essa desigualdade por 3x>0 obtemos
-,13x;<=;cos(x)3x;<=;13x
Como
limxto+infty-13x=0 e limxto+infty13x=0,
o Teorema do Confronto implica
limxto+inftycos(x)3x=0

Passo 3

Para xto-infty, é mais direto usar valor absoluto:
|cos(x)3x| ;=;|cos(x)||3x| ;<=;1|3x|
Como limxto-infty1|3x|=0, segue que
limxto-inftycos(x)3x=0

Passo 4

Como ambos os limites quando xtopminfty existem e valem 0, isto mostra que a reta
y=0
é assíntota horizontal de f(x).

Resposta

limxto+inftyf(x)=0, limxto-inftyf(x)=0
Há assíntota horizontal dada por y=0.

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