Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=e^-x sen(x)

Passo 1

O enunciado pede os limites
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x)
para a função
f(x)=e^-xsin(x),
além de verificar se existe assíntota horizontal.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites no infinito e definição de assíntota horizontal (existe se o limite em pminfty for finito).

Passo 2

Cálculo de limxto+inftye^-xsin(x).
  • Sabemos que e^-xto0 quando xto+infty.
  • Também sin(x) é limitada em [-1,1].
    Pelo Teorema do Confronto,
-,e^-x<= e^-xsin(x)<= e^-x,
e como limxto+infty-e^-x=limxto+inftye^-x=0, conclui-se
limxto+inftye^-xsin(x)=0

Passo 3

Cálculo de limxto-inftye^-xsin(x).
Para xto-infty temos -xto+infty e, portanto,
e^-x=e^,|x|to+infty
Como sin(x) oscila entre -1 e 1, o produto
f(x)=e^-xsin(x)
oscila entre -e^|x| e +e^|x|, cujo valor absoluto cresce sem limite. Logo
limxto-inftye^-xsin(x)
não existe (diverge em módulo e oscila).

Passo 4

Definição de assíntota horizontal: existe uma reta y=L se
limxto+inftyf(x)=L ou limxto-inftyf(x)=L
for finito.
Aqui obtivemos limite finito apenas para xto+infty, com L=0. Portanto existe assíntota horizontal à direita, dada por y=0. Não há assíntota horizontal à esquerda.

Resposta

limxto+inftye^-xsin(x)=0
limxto-inftye^-xsin(x) não existe (diverge)
Há assíntota horizontal y=0 quando xto+infty; não há quando xto-infty.

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