5^a ) Calcule os limites
a) lim x 2 x^2-4x-2
h) lim t 0 (4+t)^2-16t
b) lim h 0 raiz[3]8+h-2h
i) lim t 0 raiza^2+b t-at, a>0
c) lim t 0 raiz25+3 t-5t
j) lim h -4 raiz2(h^2-8)+hh+4
d) lim h 1 raizh-1h-1
k) lim x 0 raiz1+x-1-x
e) lim x 0 raizx^2+a^2-araizx^2+b^2-b, a, b>0
  1. lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a, a neq 0
    f) lim x 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1
    g) lim x 4 3-raiz5+x1-raiz5-x
    m) lim x 1 raiz[3]x^2-2 raiz[3]x+1(x-1)^2
    n) lim x 0 raiz1+x-raiz1-xx

6^a ) Determine os limites

a) lim x 2^- xx^2-4
b) lim x 2^+ xx^2-4
c) lim x 6^- x+6x^2-36
d) lim x 6^+ x+6x^2-36
e) lim x 4^- 3-xx^2-2 x-8
f) lim x 4^- 3-xx^2-2 x-8
g) lim x +infty 10 x^2-3 x+43 x^2-1
h) lim x -infty raiz2 x^2-7x+3
i) lim x -infty 5 x^3-x^2+x-1x^4+x^3-x+1
j) lim x +infty(raizx^2+1-raizx^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites que caem em formas indeterminadas do tipo 0/0 ou infty/infty, além de limites laterais que indicam assíntotas verticais e horizontais. Para resolver usamos operações algébricas como fatoração de diferenças de quadrados, identidade de soma e diferença de raízes cúbicas, racionalização de numerador ou denominador e análise do sinal das expressões.

Passo 2

Vamos tratar primeiro as diferenças de quadrados em
a) limxto2x^2-4x-2
h) limtto0(4+t)^2-16t.
Em ambos fatoramos A^2-B^2=(A-B)(A+B):
x^2-4x-2 =(x-2)(x+2)x-2=x+2Longrightarrow 2+2=4,
(4+t)^2-16t =((4+t)-4)((4+t)+4)t =t,(t+8)t=t+8Longrightarrow0+8=8

Passo 3

Agora limites com raiz quadrada no numerador e racionalização:
c) limtto0raiz25+3t-5t
i) limtto0raiza^2+bt-at,;a>0.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
raiz25+3t-5t =25+3t-25tl(raiz25+3t+5r) =3raiz25+3t+5;xrightarrowtto0;310,
raiza^2+bt-at =a^2+bt-a^2tl(raiza^2+bt+ar) =braiza^2+bt+a;xrightarrowtto0;b2a

Passo 4

Limites com raiz cúbica usando A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2):
b) limhto0raiz[3]8+h-2h
“1)” limxto araiz[3]x-raiz[3]ax-a,;aneq0
f) limxto1raiz[3]x-1raiz[4]x-1
m) limxto1raiz[3]x^2-2raiz[3]x+1(x-1)^2.
Calculamos:
raiz[3]8+h-2h =(8+h)^1/3-2h =hhl((8+h)^2/3+2(8+h)^1/3+4r) ;xrightarrowhto0;112,
raiz[3]x-raiz[3]ax-a =x^1/3-a^1/3x-a =1x^2/3+x^1/3a^1/3+a^2/3 ;xrightarrowxto a;13a^2/3,
raiz[3]x-1raiz[4]x-1 =(x-1)13+o(x-1)(x-1)14+o(x-1) ;xrightarrowxto1;1/31/4=43,
raiz[3]x^2-2raiz[3]x+1 =l(x^1/3-1r)^2, (x-1)^2=(x^1/3-1)^2(x^2/3+x^1/3+1)^2 ;Longrightarrow; 1(x^2/3+x^1/3+1)^2;xrightarrowxto1;19

Passo 5

Mais racionalizações simples de raízes quadradas:
d) limhto1raizh-1h-1
k) limxto0raiz1+x-1-,x
n) limxto0raiz1+x-raiz1-xx.
Fazendo conjugados:
raizh-1h-1 =h-1(h-1)(raizh+1) =1raizh+1;xrightarrowhto1;12,
raiz1+x-1-x =-raiz1+x-1x =-1raiz1+x+1;xrightarrowxto0;-12,
raiz1+x-raiz1-xx =(raiz1+x-raiz1-x)(raiz1+x+raiz1-x) xl(raiz1+x+raiz1-xr) =2xx(raiz1+x+raiz1-x) =2raiz1+x+raiz1-x;xrightarrow0;1

Passo 6

Razão de expressões com raízes em “e” e “j”:
e) limxto0raizx^2+a^2-araizx^2+b^2-b,;a,b>0
j) limhto-4raiz2(h^2-8)+hh+4.
Para “e” usamos a expansão raiza^2+x^2approx a+tfracx^22a:
tfracx^22a+o(x^2)tfracx^22b+o(x^2);xrightarrowxto0;ba
Para “j” multiplicamos por conjugado:
raiz2(h^2-8)+hh+4 cdotraiz2(h^2-8)-hraiz2(h^2-8)-h =2(h^2-8)-h^2(h+4)l(raiz2(h^2-8)-hr) =h^2-16(h+4)(dots) =(h-4)(h+4)(h+4)(dots)
longrightarrowh-4raiz2(h^2-8)-h|h=-4 =-84+4=-1

Passo 7

Limite “g” em 5, com racionalizações separadas:
limxto43-raiz5+x1-raiz5-x =(4-x)/(3+raiz5+x)(x-4)/(1+raiz5-x) =-1+raiz5-x3+raiz5+x|4 =-1+13+3=-13

Passo 8

Agora os limites laterais de 6a)–6f) para assíntotas verticais da função f(x)=xx^2-4 e x+6x^2-36 e 3-xx^2-2x-8. Basta analisar o sinal de numerador e denominador ao se aproximar do ponto:
6a) xto2^-: denom x^2-4to0^-, num to2, logo -infty.
6b) xto2^+: denom to0^+, num to2, logo +infty.
6c) xto6^- em x+6x^2-36: denom to0^-, num to12, logo -infty.
6d) xto6^+: denom to0^+, num to12, logo +infty.
6e) xto4^- em 3-x(x-4)(x+2): num to-1, denom to(neg)(+)to-, logo +infty.
6f) xto4^+: num to-1, denom to(+)(+)to+, logo -infty.

Passo 9

Limites no infinito de 6g)–6j):
6g) limxtoinfty10x^2-3x+43x^2-1 =103
6h) limxto-inftyraiz2x^2-7x+3 approxraiz2|x|x=-raiz2
6i) limxto-infty5x^3-x^2+x-1x^4+x^3-x+1 =limx^3(5-1/x+1/x^2-1/x^3)x^4(1+1/x-1/x^3+1/x^4)=0
6j) limxtoinftyl(raizx^2+1-raizx^2-1r) =(raizx^2+1-raizx^2-1)(raizx^2+1+raizx^2-1) raizx^2+1+raizx^2-1 =2raizx^2+1+raizx^2-1to1

Resposta

5a) 4
5b) tfrac112
5c) tfrac310
5d) tfrac12
5e) tfracba
5f) tfrac43
5g) -tfrac13
5h) 8
5i) tfracb2a
5j) -1
5 “1)” tfrac13a^2/3
5m) tfrac19
5n) 1
6a) -infty
6b) +infty
6c) -infty
6d) +infty
6e) +infty
6f) -infty
6g) tfrac103
6h) -raiz2
6i) 0
6j) 1

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