3^a) Seja f(x)=x-3x+1, mostre que f(f(f(x)))=x.
4^ a ) seja f(x)=2+|5 x-1|. Calcule se existir:
a) lim x 1 / 5^- f(x)
b) lim x 1 / 5^+ f(x) c lim x 1 / 5 f(x)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (3ª) temos a função
f(x)=x-3x+1
e precisamos mostrar que, ao aplicar f três vezes, voltamos a x, ou seja,
fl(fl(f(x)r)r)=x
Na parte (4ª) a função é
f(x)=2+|5x-1|,
e queremos calcular
limxto tfrac15^-f(x), limxto tfrac15^+f(x) e limxto tfrac15f(x)

Passo 2

Para a parte 3ª, vamos primeiro obter uma expressão para f(f(x)). Seja
y = f(x) = x-3x+1
Então
fl(f(x)r) = f(y) = y - 3y + 1
Substituímos y=tfracx-3x+1 nessa fórmula.

Passo 3

Fazendo a substituição em
f(y)=y-3y+1 obtemos
fl(f(x)r) = x-3x+1 - 3x-3x+1 + 1 = x-3 - 3(x+1)x+1x-3 + (x+1)x+1 = x-3 -3x -3,x-3 + x+1, = -2x-62x-2
Fatorando numerador e denominador,
-2(x+3)2(x-1) = -,x+3x-1

Passo 4

Agora aplicamos f mais uma vez para achar f(f(f(x))). Seja
z = fl(f(x)r) = -x+3x-1
Então
fl(f(f(x))r) = f(z) = z - 3z + 1 = -x+3x-1 ;-;3-x+3x-1;+;1
Colocando tudo sobre o mesmo denominador x-1,
= ,-(x+3) - 3(x-1),,(x-1)l[-(x+3)+(x-1)r]/(x-1) = -x -3 -3x +3-(x+3)+x-1 = -4x-,4 = x

Passo 5

Concluímos que
fl(fl(f(x)r)r) = x,
como queríamos mostrar.

Passo 6

Para a parte 4ª, a função
f(x)=2+|5x-1|
é definida por dois ramos, dependendo do sinal de 5x-1. O ponto crítico é x=tfrac15.

Passo 7

Quando xto tfrac15^-, temos 5x-1<0, logo |5x-1|=-(5x-1)=1-5x. Assim
f(x)=2 + (1-5x)=3-5x
Logo
limxto tfrac15^-f(x) = limxtotfrac15^-(3-5x) = 3 - 5cdot15 = 2

Passo 8

Quando xto tfrac15^+, temos 5x-1>0, logo |5x-1|=5x-1. Assim
f(x)=2 + (5x-1)=5x+1
Logo
limxto tfrac15^+f(x) = limxtotfrac15^+(5x+1) = 5cdot15 + 1 = 2

Passo 9

Como as limites lateral esquerda e direita são iguais a 2, concluímos que a limite comum existe e vale 2:
limxto tfrac15f(x)=2

Resposta

Para f(x)=x-3x+1 temos
fl(fl(f(x)r)r)=x
Para f(x)=2+|5x-1| temos
limxto tfrac15^-f(x)=2, limxto tfrac15^+f(x)=2, limxto tfrac15f(x)=2

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