Seja
, mostre que
.
) seja
. Calcule se existir:
a)
b)
c
a)
b)
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (3ª) temos a função
e precisamos mostrar que, ao aplicar
três vezes, voltamos a
, ou seja,
Na parte (4ª) a função é
e queremos calcular
Passo 2
Para a parte 3ª, vamos primeiro obter uma expressão para
. Seja
Então
Substituímos
nessa fórmula.
Passo 3
Fazendo a substituição em
obtemos
Fatorando numerador e denominador,
Passo 4
Agora aplicamos
mais uma vez para achar
. Seja
Então
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
,
Passo 5
Concluímos que
como queríamos mostrar.
Passo 6
Para a parte 4ª, a função
é definida por dois ramos, dependendo do sinal de
. O ponto crítico é
.
Passo 7
Quando
, temos
, logo
. Assim
Logo
Passo 8
Quando
, temos
, logo
. Assim
Logo
Passo 9
Como as limites lateral esquerda e direita são iguais a
, concluímos que a limite comum existe e vale
:
Resposta
Para
temos
Para
temos