Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
f) Encontre a série de Fourier em senos de f(x) = 2 - x^2, 0 < x < 2 com período 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre série de Fourier em senos. A questão pede para encontrar a série de Fourier em senos da função no intervalo com período 4. Isso envolve entender como decompor a função em uma soma de funções senoidais, que é super útil na análise de sinais periódicos.

Passo 2

Primeiro, como a série é em senos e a função está definida de a com período , isso significa que vamos estender a função como uma função ímpar no intervalo a . Funções ímpares têm a propriedade , o que faz com que apenas os termos de seno apareçam na série de Fourier.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier em senos. A fórmula geral para o coeficiente em uma série de Fourier de senos é:
Onde é metade do período, então aqui .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, separamos a integral:
Vamos chamar a primeira integral de e a segunda de :

Passo 6

Calculando :
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Essa integral é um pouco mais complicada e requer integração por partes duas vezes.
Primeiro, definimos:
Aplicando integração por partes:

Passo 8

Continuando, precisamos resolver a segunda integral que aparece:
Fazemos outra integração por partes:
Assim:
A segunda integral se resolve facilmente:
Então, substituindo de volta:
Avaliando de a :
Substituindo e , simplificando:
Sabemos que , , e , então:

Passo 9

Voltando ao :

Passo 10

Agora, juntando e para obter :

Passo 11

Finalmente, a série de Fourier em senos de é dada por:

Resposta

A série de Fourier em senos de com período 4 é:

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