(Equação de Ricatti) Sendo
uma solução particular da equação em questão, faça a mudança de variáveis
para resolver os itens abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma Equação de Riccati. A equação que temos é:
Sabemos que uma solução particular dessa equação é
. Para resolver completamente a equação, vamos usar uma mudança de variável:
. Isso vai simplificar a equação e nos ajudar a encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável proposta:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos e simplificar:
- Expandindo
:
- Expandindo
:
Passo 4
Substituindo as expansões de volta na equação, temos:
Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
- Os termos
e se cancelam. -
-
-
Assim, a equação simplifica para:
Passo 5
Vamos multiplicar toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear simples:
Vamos resolver essa equação. Primeiro, encontramos o fator integrante, que é
.
Multiplicando a equação por
:
Isso se escreve como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos
:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante real.