(Equação de Ricatti) Sendo y1(t) uma solução particular da equação em questão, faça a mudança de variáveis y = y1 + 1/z para resolver os itens abaixo.
y'(t) + (y(t))^2 - (1 + 2 e^t) y(t) + e^(2t) = 0 ; y1(t) = e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma Equação de Riccati. A equação que temos é:
Sabemos que uma solução particular dessa equação é . Para resolver completamente a equação, vamos usar uma mudança de variável: . Isso vai simplificar a equação e nos ajudar a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável proposta:
Agora, precisamos calcular a derivada de y em relação a t:

Passo 3

Vamos substituir y e y'(t) na equação original:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos e simplificar:
  1. Expandindo :
  1. Expandindo :

Passo 4

Substituindo as expansões de volta na equação, temos:
Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
  • Os termos e^t e se cancelam.
Assim, a equação simplifica para:

Passo 5

Vamos multiplicar toda a equação por para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear simples:
Vamos resolver essa equação. Primeiro, encontramos o fator integrante, que é .
Multiplicando a equação por e^t:
Isso se escreve como:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Então:

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos z:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por e^t:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde C é uma constante real.

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