Calcule os limites indicados
lim x -2 x^2-2 x-3x^2+5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -2x^2-2x-3x^2+5x+6,
que é um limite de uma função racional. Para isso, vamos fatorar numerador e denominador, verificar o que acontece em x=-2 e estudar os limites laterais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-2x-3=(x-3)(x+1), x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
Assim a função fica
f(x)=(x-3)(x+1)(x+2)(x+3)
Em x=-2 o numerador vale
(-2-3)(-2+1)=(-5)cdot(-1)=5neq0,
enquanto o denominador vale zero, indicando que teremos uma descontinuidade infinita.

Passo 3

Para ver o comportamento ao nos aproximarmos de -2, note que o denominador é (x+2)(x+3). Perto de x=-2 temos (x+3)approx1 sempre positivo, e o fator (x+2) muda de sinal:
  • Se xto-2^-, então (x+2)<0 e o denominador (x+2)(x+3)<0. Como o numerador é aproximadamente 5>0, limxto-2^-f(x)=-infty
  • Se xto-2^+, então (x+2)>0 e o denominador (x+2)(x+3)>0. Como o numerador é >0, limxto-2^+f(x)=+infty

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (um vai a -infty e o outro a +infty), o limite de f(x) quando xto-2 não existe no sentido usual.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto-2^-x^2-2x-3x^2+5x+6=-infty e limxto-2^+x^2-2x-3x^2+5x+6=+infty

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