(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x+4}{|x-2|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite lateral (direito):
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x+4}{|x-2|}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x+4}{|x-2|}.
  • O limite é quando x se aproxima de 2 pela direita (isto é, x>2 e x\to2).
    O que se busca: determinar o comportamento (valor finito ou infinito) desse quociente quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2.

Passo 2

Entender o valor do módulo para x\) à direita de \(2\). Lembrete da definição de valor absoluto: para qualquer número real \(y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y=x-2\]. Como estamos aproximando \(x por valores maiores que 2 (isto é, x>2), então x-2>0 e, portanto,
|x-2| = x-2 \qquad\text{para } x>2.]

Passo 3

Substituindo |x-2|=x-2 na expressão para x>2, obtemos a forma equivalente do quociente quando nos aproximamos por valores maiores que 2:
\frac{x+4}{|x-2|} = \frac{x+4}{x-2},\qquad x>2.

Passo 4

Agora analiso o comportamento da função \dfrac{x+4}{x-2} quando x\to2^{+}.
  • O numerador x+4 tende para 2+4=6, ou seja, x+4\to 6.
  • O denominador x-2 tende para 0, e como x vem pela direita, x-2\to 0^{+} (positivo e pequeno).
    Uma forma clara de ver isso é fazer a mudança x=2+h com h\to 0^{+}. Então
\frac{x+4}{x-2}=\frac{(2+h)+4}{(2+h)-2}=\frac{6+h}{h}= \frac{6}{h}+1.
Quando h\to 0^{+}, o termo \dfrac{6}{h} cresce sem limite positivo, portanto \dfrac{6}{h}+1\to +\infty.

Passo 5

Conclusão: ao aproximar x de 2 pela direita, o denominador tende a zero por valores positivos enquanto o numerador tende a 6>0. Isso faz a fração crescer sem limite positivo. Em linguagem de limites, dizemos que o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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