e pergunta: a função f é contínua em x=4? Peça para justificar a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
A expressão de f no intervalo que contém x=4 é x^{2}+4 (pois 1\le x\le4).
Para x>4, f(x)=20.
Devemos verificar continuidade exatamente em x=4.]
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
Dizemos que f é contínua em a se e somente se os três valores coincidirem:
\displaystyle f(a) (o valor da função no ponto),
\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) (o limite pela esquerda),
\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) (o limite pela direita).
Ou seja, f é contínua em a quando
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
e isso só acontece se ambos os limites laterais existirem e forem iguais entre si e iguais a f(a).
Explicação intuitiva: a função não pode “pular” nem ter buraco ou valor diferente no ponto — o valor que se aproxima de ambos os lados deve ser exatamente o valor que está definido em a.
Passo 3
Calcular o valor de f em x=4.
Como 4 pertence ao intervalo 1\le x\le4, usamos a expressão x^{2}+4. Portanto:
f(4)=4^{2}+4=16+4=20.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to4^-} f(x).
Para x que se aproximam de 4 pela esquerda temos x ainda no intervalo [1,4], logo nessa vizinhança f(x)=x^{2}+4. Polinômios (como x^{2}+4) são funções contínuas em toda parte, então o limite da função polinomial quando x\to4 é simplesmente o polinômio avaliado em 4. Assim: