(2,0) Considere a função definida por:
f(x)= \begin{cases}x+2 & \text { se } x<1 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 1 \leq x \leq 4 \\\\ 20 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x+2 & \text{se } x<1, \\[4pt] x^{2}+4 & \text{se } 1 \le x \le 4, \\[4pt] 20 & \text{se } x>4,\end{cases}
e pergunta: a função f é contínua em x=4? Peça para justificar a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão de f no intervalo que contém x=4 é x^{2}+4 (pois 1\le x\le4).
  • Para x>4, f(x)=20.
  • Devemos verificar continuidade exatamente em x=4.]

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
  • Dizemos que f é contínua em a se e somente se os três valores coincidirem:
    1. \displaystyle f(a) (o valor da função no ponto),
    2. \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) (o limite pela esquerda),
    3. \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) (o limite pela direita).
  • Ou seja, f é contínua em a quando
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
e isso só acontece se ambos os limites laterais existirem e forem iguais entre si e iguais a f(a).
Explicação intuitiva: a função não pode “pular” nem ter buraco ou valor diferente no ponto — o valor que se aproxima de ambos os lados deve ser exatamente o valor que está definido em a.

Passo 3

Calcular o valor de f em x=4.
Como 4 pertence ao intervalo 1\le x\le4, usamos a expressão x^{2}+4. Portanto:
f(4)=4^{2}+4=16+4=20.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to4^-} f(x).
Para x que se aproximam de 4 pela esquerda temos x ainda no intervalo [1,4], logo nessa vizinhança f(x)=x^{2}+4. Polinômios (como x^{2}+4) são funções contínuas em toda parte, então o limite da função polinomial quando x\to4 é simplesmente o polinômio avaliado em 4. Assim:
\lim_{x\to4^-} f(x)=\lim_{x\to4^-} (x^{2}+4)=4^{2}+4=20.
Observação prática: também se pode pensar assim — ao aproximar x de 4 por valores menores, a fórmula aplicável é x^{2}+4, então basta substituir x=4.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to4^+} f(x).
Para x>4 a função é constante: f(x)=20. O limite quando x tende a 4 por valores maiores de uma função constante é o próprio valor constante. Portanto:
\lim_{x\to4^+} f(x)=\lim_{x\to4^+} 20 = 20.

Passo 6

Concluir sobre a continuidade em x=4.
Juntando os resultados:
  • f(4)=20 (Passo 3),
  • \lim_{x\to4^-} f(x)=20 (Passo 4),
  • \lim_{x\to4^+} f(x)=20 (Passo 5).
Como as duas bordas limitantes existem, são iguais entre si e iguais a f(4), pela definição de continuidade temos que f é contínua em x=4.
Força aí — conclusão direta: os dois lados “se encontram” exatamente no valor da função, então não tem salto nem buraco.

Resposta

Sim. f é contínua em x=4.

Exercícios relacionados