f(x)= \begin{cases}x+2 & \text { se } x<1 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 1 \leq x \leq 4 \\\\ 20 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=2 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+2 & \text{ se } x<1,\\[4pt] x^{2}+4 & \text{ se } 1 \leq x \leq 4,\\[4pt] 20 & \text{ se } x>4, \end{cases}
e pergunta: f é contínua em x=2? Devemos justificar a resposta. As informações relevantes são as três definições por intervalos da função e o ponto onde verificamos a continuidade, x=2.]
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade num ponto), bem mastigado: uma função f é contínua em x=a se e somente se as três condições seguintes ocorrem simultaneamente:
\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) existe;
\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) existe;
\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Em palavras: os limites pela esquerda e pela direita existem e coincidem, e esse valor iguala o valor da função no ponto. Então nosso objetivo é calcular os limites laterais em a=2 e comparar com f(2).
Passo 3
Qual ramo da definição vale em x=2? Observamos que 1 \leq 2 \leq 4, portanto o ramo aplicável é o do meio: f(x)=x^{2}+4 quando x está em 1\le x\le4. Logo o valor da função no ponto é
f(2)=2^{2}+4=4+4=8.
Passo 4
Agora vamos calcular os limites laterais. Importante notar que, para x suficientemente próximo de 2 (por exemplo, todo x com |x-2|<1), tem-se 1<x<3, ou seja esses x ficam no intervalo [1,4]. Portanto, para x perto de 2 (tanto pela esquerda quanto pela direita) a expressão que define f(x) é x^{2}+4. Assim
Como x^{2}+4 é um polinômio (função contínua em todo \mathbb{R}), ambos os limites laterais existem e são iguais ao valor obtido por substituição:
\lim_{x\to 2} (x^{2}+4)=2^{2}+4=8.
Passo 5
Comparando: os limites laterais existem e coincidem com 8, e o valor da função em 2 também é f(2)=8. Portanto todas as condições da definição de continuidade em x=2 estão satisfeitas.