Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão.
f(x)= \begin{cases}3 x-2 & \text { se } x>1 \\\\ 2 & \text { se } x=1 \\\\ 4 x+1 & \text { se } x<1\end{cases}
c) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 3x-2 &\text{se }x>1,\\\\ 2 &\text{se }x=1,\\\\ 4x+1 &\text{se }x<1, \end{cases}
e pede \lim_{x\to1}f(x). Como essa é uma função definida por partes, vamos calcular primeiro os limites laterais esquerdo e direito e compará-los.

Passo 2

Calculando o limite pela esquerda, isto é \lim_{x\to1^-}f(x), usamos a regra válida para x<1, que é f(x)=4x+1. Logo,
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(4x+1) =4\cdot1+1 =5.

Passo 3

Calculando o limite pela direita, isto é \lim_{x\to1^+}f(x), usamos a regra válida para x>1, que é f(x)=3x-2. Assim,
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(3x-2) =3\cdot1-2 =1.

Passo 4

Para que o limite \lim_{x\to1}f(x) exista, é preciso que
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x). Aqui, porém, obtemos valores diferentes (5 e 1), logo o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to1}f(x) não existe, pois
\lim_{x\to1^-}f(x)=5\neq1=\lim_{x\to1^+}f(x).

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