Calcule os limites indicados.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}.
Este problema envolve indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e podemos usar a Regra de L’Hôpital ou reconhecer que ele coincide com a derivada de \ln x em x=1.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação. Quando x\to 1, temos \ln x\to \ln(1)=0 e x-1\to 0, logo a forma é \tfrac{0}{0}. As hipóteses da Regra de L’Hôpital estão satisfeitas, pois \ln x e x-1 são diferenciáveis perto de x=1 e o denominador não se anula para x\neq1.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}[\,x-1\,]=1.
Portanto,
\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} =\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=1:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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