Calcule os limites indicados.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\ln (1-x)}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(1 - x)}{x^2 - 1}
Esse é um problema de comparação de crescimentos: o numerador cresce como logaritmo e o denominador como quadrático. Vamos usar equivalências assintóticas para ver qual termo domina.

Passo 2

Analisando o numerador para x\to -\infty, note que 1-x é positivo e grande, pois 1-x=-x(1-1/x). Então podemos escrever
\ln(1 - x) = \ln\bigl(-x\bigr) + \ln\!\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr).
Como \ln(1-1/x)\to 0 quando x\to -\infty, fica
\ln(1 - x)\sim \ln(-x).

Passo 3

Para o denominador temos
x^2 - 1 \sim x^2
quando x\to -\infty, pois o termo -1 é irrelevante diante de x^2.

Passo 4

Usando essas equivalências, o quociente se comporta como
\frac{\ln(1 - x)}{x^2 - 1} \sim \frac{\ln(-x)}{x^2}.
E como qualquer logaritmo cresce bem mais devagar que um quadrado, temos
\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln(-x)}{x^2} = 0.

Resposta

0

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