Calcule os limites indicados.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolvido é análise de limites de função com potência em que usamos propriedades de logaritmo e a clássica relação \lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e.

Passo 2

Reescrevemos a base da potência de forma conveniente. Note que
\frac{x}{1+x}=\frac{1}{1+\tfrac1x},
então
\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{-x}.

Passo 3

Para lidar com expoentes variáveis, é útil tomar o logaritmo natural. Seja
L=\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{-x}.
Definindo y=(1+1/x)^{-x}, temos
\ln L=\lim_{x\to+\infty}\ln y =\lim_{x\to+\infty}\bigl(-x\ln(1+\tfrac1x)\bigr).

Passo 4

Usamos o desenvolvimento para pequeno u: \ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}2+o(u^2). Aqui u=1/x\to0, então
\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr) =\tfrac1x-\tfrac1{2x^2}+o\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr).
Multiplicando por -x
-x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr) =-x\Bigl(\tfrac1x-\tfrac1{2x^2}+o(\tfrac1{x^2})\Bigr) =-1+\tfrac1{2x}+o\bigl(\tfrac1x\bigr) \overset{x\to\infty}{\longrightarrow}-1.
Logo \displaystyle \ln L=-1.

Passo 5

Como \ln L=-1, conclui-se que
L=e^{-1}.

Resposta

\boxed{e^{-1}}

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