Calcule os limites indicados:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas:
  • A expressão depende de x que tende a 0.
  • A função envolvida é \dfrac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
    O objetivo é calcular esse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de forma a usar limites mais simples e conhecidos. Note que
\frac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} = x\cdot\left(\frac{x\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\right) = x\cdot \cos(x)\cdot\left(\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\right).
Esta decomposição transforma o problema em calcular o produto de três fatores cujo comportamento em x\to 0 é mais fácil de estudar.

Passo 3

Teorema usado: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M e ambos existem e são finitos, então \lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM. Assim podemos calcular o limite do produto obtendo os limites dos fatores e multiplicando-os, desde que cada limite exista finito.
Aplicaremos isso aos três fatores x, \cos(x) e \dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 4

Avaliar \lim_{x\to 0} x e \lim_{x\to 0}\cos(x).
  • É imediato que
\lim_{x\to 0} x = 0.
  • A função cosseno é contínua, logo
\lim_{x\to 0}\cos(x)=\cos(0)=1.

Passo 5

Avaliar \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)}.
Aqui usamos o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Uma demonstração elementar (via desigualdade geométrica e o Teorema do Confronto / Squeeze) é a seguinte: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\operatorname{sen}(x) < x < \operatorname{tg}(x).
Dividindo tudo por \operatorname{sen}(x) obtemos
1 < \frac{x}{\operatorname{sen}(x)} < \frac{1}{\cos(x)}.
Quando x\to 0 tem-se \cos(x)\to 1, então o limite do lado direito tende a 1. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} = 1.
Para x negativos a mesma conclusão vale usando que \operatorname{sen} é função ímpar; portanto o limite bilateral é 1.

Passo 6

Agora juntamos os limites dos fatores (todos existem e são finitos):
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} = \left(\lim_{x\to 0} x\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\cos(x)\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\right).
Substituindo os valores que achamos:
= 0 \cdot 1 \cdot 1 = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados