Calcule os limites indicados:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão depende de
que tende a . - A função envolvida é
.
O objetivo é calcular esse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Vamos reescrever a expressão de forma a usar limites mais simples e conhecidos. Note que
Esta decomposição transforma o problema em calcular o produto de três fatores cujo comportamento em
é mais fácil de estudar.
Passo 3
Teorema usado: se
e
e ambos existem e são finitos, então
. Assim podemos calcular o limite do produto obtendo os limites dos fatores e multiplicando-os, desde que cada limite exista finito.
Aplicaremos isso aos três fatores
,
e
.
Passo 4
Avaliar
e
.
- É imediato que
- A função cosseno é contínua, logo
Passo 5
Avaliar
.
Aqui usamos o limite clássico
Uma demonstração elementar (via desigualdade geométrica e o Teorema do Confronto / Squeeze) é a seguinte: para
vale a desigualdade
Dividindo tudo por
obtemos
Quando
tem-se
, então o limite do lado direito tende a
. Pelo Teorema do Confronto segue que
Para
negativos a mesma conclusão vale usando que
é função ímpar; portanto o limite bilateral é
.
Passo 6
Agora juntamos os limites dos fatores (todos existem e são finitos):
Substituindo os valores que achamos: