Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
-
é uma constante real. -
é uma constante real. - A função está definida para
.
Pergunta clara: calcular, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a parte racional usando potência para aplicar regras padrão de derivação. Escrevo
Reescrever assim facilita porque existe a regra da potência para
.
Passo 3
Relembrando regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Regra do fator constante: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja,
, onde é constante. - A derivada de uma constante é zero:
se não depende de .
Passo 4
Aplicando a regra da potência: para qualquer número real
,
Aqui temos
. Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra do fator constante à parte
e a linearidade ao todo:
- Pela regra do fator constante,
- E como
é constante,
Somando as derivadas (regra da soma) obtemos a expressão que, após simplificação, é a derivada de
. A simplificação final fica na seção de resposta.
Passo 6
Observação sobre domínio: a derivada só faz sentido onde a função está definida e diferenciável; aqui isso exige
. Portanto o resultado vale para
.