Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{\pi}{x}+\ln (2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\frac{\pi}{x}+\ln(2).
Informações dadas:
  • \pi é uma constante real.
  • \ln(2) é uma constante real.
  • A função está definida para x\neq0.
    Pergunta clara: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a parte racional usando potência para aplicar regras padrão de derivação. Escrevo
f(x)=\pi x^{-1}+\ln(2).
Reescrever assim facilita porque existe a regra da potência para x^{n}.

Passo 3

Relembrando regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}C=0 se C não depende de x.

Passo 4

Aplicando a regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui temos n=-1. Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 5

Agora aplico a regra do fator constante à parte \pi x^{-1} e a linearidade ao todo:
  • Pela regra do fator constante,
\frac{d}{dx}\big(\pi x^{-1}\big)=\pi\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=\pi\cdot\big(-x^{-2}\big)=\pi(-x^{-2}).
  • E como \ln(2) é constante,
\frac{d}{dx}\big(\ln(2)\big)=0.
Somando as derivadas (regra da soma) obtemos a expressão que, após simplificação, é a derivada de f. A simplificação final fica na seção de resposta.

Passo 6

Observação sobre domínio: a derivada só faz sentido onde a função está definida e diferenciável; aqui isso exige x\neq0. Portanto o resultado vale para x\neq0.

Resposta

f'(x)=-\frac{\pi}{x^{2}}

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