Determinar as derivada laterais em x_{0}, caso existam, das funções dadas a seguir.
f(x)=x \ln (x), x_{0}=a

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas laterais em \,x_{0}=a\, da função \,f(x)=x\ln(x)\,, caso existam. Informações relevantes que nos dão:
  • A função está escrita como \,f(x)=x\ln(x)\,.
  • A função \ln(x) só está definida para \,x>0. Portanto a expressão original de f só faz sentido para \,x>0.
  • Precisamos analisar existência das derivadas laterais (direita e esquerda) em x_{0}=a. Isso naturalmente divide a análise em casos: \,a>0\,,\\ a=0\,,\\ a<0.

Passo 2

Vou lembrar o que significa derivada lateral de maneira clara e simples.
  • A derivada à direita de f em a (quando existe) é o limite
\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • A derivada à esquerda de f em a (quando existe) é o limite
\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Se ambos os limites existem e são iguais, então a derivada usual de f em a existe e vale esse valor comum.
Antes de calcular, precisamos garantir que f(a) exista (ou então tratar derivadas unilaterais apropriadas em pontos de fronteira do domínio).

Passo 3

Caso 1: \,a>0.
Aqui \,a é um ponto interior do domínio (0,\infty), então faz sentido falar em derivada usual (e, consequentemente, nas duas derivadas laterais). Uma maneira simples e didática de calcular é usar a regra do produto, depois justificar por definição se desejar.
Regra do produto (em palavras): se u(x) e v(x) são diferenciáveis em a, então (uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a). Aplicando com u(x)=x e v(x)=\ln(x):
  • u'(x)=1 para todo x.
  • v'(x)=\dfrac{1}{x} para x>0 (derivada conhecida de \ln).
Logo, para x>0,
f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.
Portanto em x=a>0 temos
f'(a)=\ln(a)+1.
Isto mostra que a derivada existe e que as duas derivadas laterais existem e são iguais a \,\ln(a)+1\,.
Se quiser ver o mesmo resultado diretamente pela definição (passo-a-passo com limites), faço a conta curta e explícita: usar a definição
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{(a+h)\ln(a+h)-a\ln(a)}{h}.
Separando termos:
\frac{(a+h)\ln(a+h)-a\ln(a)}{h} =\ln(a+h)+a\cdot\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h}.
Agora \lim_{h\to0}\ln(a+h)=\ln(a) e, usando a substituição t=\dfrac{h}{a} ou a regra da cadeia para o logaritmo,
\lim_{h\to0}\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{a}\cdot\frac{\ln(1+h/a)}{h/a}=\frac{1}{a}\cdot 1,
porque \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Logo o segundo termo tende a a\cdot\frac{1}{a}=1. Somando,
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ln(a)+1.
Isso confirma por definição que a derivada existe e vale \ln(a)+1. Conclusão para a>0: as derivadas laterais existem e são iguais a \ln(a)+1.

Passo 4

Justificativa rápida do limite auxiliar usado acima: \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Um argumento simples é aplicar l’Hôpital (ou usar a expansão \ln(1+u)\sim u quando u\to0). Pelo l’Hôpital,
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u} =\lim_{u\to0}\frac{1}{1+u}=1.
Isso é suficiente para justificar a etapa usada no Passo 3.

Passo 5

Caso 2: \,a=0.
  • Observação inicial: a expressão \ln(x) não está definida em x=0. Assim, com a função dada estritamente como \,f(x)=x\ln(x) para x>0, o ponto x=0 não pertence ao domínio; portanto não faz sentido falar em derivadas (nem laterais) de f em 0 enquanto f(0) não estiver definido.
  • Entretanto, é comum notar que \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)=0. Então existe uma extensão contínua natural definindo \tilde f(0)=0. Se alguém fizer essa extensão e perguntar pela derivada à direita em 0, calculemos o quociente de diferença à direita:
\frac{\tilde f(0+h)-\tilde f(0)}{h}=\frac{h\ln(h)-0}{h}=\ln(h),\qquad h>0.
O limite quando h\to0^{+} de \ln(h) é -\infty. Portanto a derivada à direita em 0 não existe como número finito (diverge para -\infty). Conclusão: sem extensão não há derivada porque 0 não está no domínio; com a extensão contínua \tilde f(0)=0 a derivada à direita não existe finitamente (vai a -\infty). Em particular não há derivada usual em 0.

Passo 6

Caso 3: \,a<0.
A função \,f(x)=x\ln(x)\, não está definida para x\le0 (no reals), então a<0 não é ponto do domínio. Logo não há como calcular derivadas laterais em a — simplesmente não existem porque f(a) não existe.

Resposta

Se \,a>0: as derivadas laterais existem e valem \ln(a)+1.
Se \,a=0: o ponto não pertence ao domínio; se estender f(0)=0 (extensão contínua), a derivada à direita não existe finitamente (tende a -\infty).
Se \,a<0: o ponto não pertence ao domínio, portanto não há derivadas laterais.

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