Determinar as derivada laterais em
, caso existam, das funções dadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas laterais em
da função
, caso existam. Informações relevantes que nos dão:
- A função está escrita como
. - A função
só está definida para . Portanto a expressão original de só faz sentido para . - Precisamos analisar existência das derivadas laterais (direita e esquerda) em
. Isso naturalmente divide a análise em casos: .
Passo 2
Vou lembrar o que significa derivada lateral de maneira clara e simples.
- A derivada à direita de
em (quando existe) é o limite
- A derivada à esquerda de
em (quando existe) é o limite
Se ambos os limites existem e são iguais, então a derivada usual de
em
existe e vale esse valor comum.
Antes de calcular, precisamos garantir que
exista (ou então tratar derivadas unilaterais apropriadas em pontos de fronteira do domínio).
Passo 3
Caso 1:
.
Aqui é um ponto interior do domínio
, então faz sentido falar em derivada usual (e, consequentemente, nas duas derivadas laterais). Uma maneira simples e didática de calcular é usar a regra do produto, depois justificar por definição se desejar.
Aqui
Regra do produto (em palavras): se
e
são diferenciáveis em
, então
. Aplicando com
e
:
-
para todo . -
para (derivada conhecida de ).
Logo, para
,
Portanto em
temos
Isto mostra que a derivada existe e que as duas derivadas laterais existem e são iguais a
.
Se quiser ver o mesmo resultado diretamente pela definição (passo-a-passo com limites), faço a conta curta e explícita: usar a definição
Separando termos:
Agora
e, usando a substituição
ou a regra da cadeia para o logaritmo,
porque
. Logo o segundo termo tende a
. Somando,
Isso confirma por definição que a derivada existe e vale
. Conclusão para
: as derivadas laterais existem e são iguais a
.
Passo 4
Justificativa rápida do limite auxiliar usado acima:
.
Um argumento simples é aplicar l’Hôpital (ou usar a expansão quando
). Pelo l’Hôpital,
Um argumento simples é aplicar l’Hôpital (ou usar a expansão
Isso é suficiente para justificar a etapa usada no Passo 3.
Passo 5
Caso 2:
.
- Observação inicial: a expressão
não está definida em . Assim, com a função dada estritamente como para , o ponto não pertence ao domínio; portanto não faz sentido falar em derivadas (nem laterais) de em enquanto não estiver definido. - Entretanto, é comum notar que
. Então existe uma extensão contínua natural definindo . Se alguém fizer essa extensão e perguntar pela derivada à direita em , calculemos o quociente de diferença à direita:
O limite quando
de
é
. Portanto a derivada à direita em
não existe como número finito (diverge para
). Conclusão: sem extensão não há derivada porque
não está no domínio; com a extensão contínua
a derivada à direita não existe finitamente (vai a
). Em particular não há derivada usual em
.
Passo 6
Caso 3:
.
A função não está definida para
(no reals), então
não é ponto do domínio. Logo não há como calcular derivadas laterais em
— simplesmente não existem porque
não existe.
A função
Resposta
Se
: as derivadas laterais existem e valem
.
Se
: o ponto não pertence ao domínio; se estender
(extensão contínua), a derivada à direita não existe finitamente (tende a
).
Se
: o ponto não pertence ao domínio, portanto não há derivadas laterais.