Calcule os limites indicados.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+e^{x}\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 0}\bigl(x + e^{x}\bigr)^{1/x}.
Este limite é da forma indeterminada 1^{\infty}. Para resolver, vamos usar a estratégia de tomar o logaritmo natural, o que transforma a potência em um quociente que tende a uma forma 0/0, e então aplicaremos a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Defina
y = \bigl(x + e^{x}\bigr)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln\bigl(x + e^{x}\bigr).
Quando x \to 0, o numerador \ln\bigl(x+e^{x}\bigr)\to \ln(1)=0 e o denominador x\to0, de modo que temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para calcular
\lim_{x\to0}\ln y = \lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(x+e^{x}\bigr)}{x},
aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+e^{x}\bigr) = \frac{1 + e^{x}}{\,x + e^{x}\,}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1.
Logo
\lim_{x\to0}\ln y = \lim_{x\to0}\frac{1 + e^{x}}{\,x + e^{x}\,} = \frac{1 + e^{0}}{0 + e^{0}} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 4

Como \lim_{x\to0}\ln y = 2, voltamos à variável original:
\lim_{x\to0}y = \exp\!\bigl(\lim_{x\to0}\ln y\bigr) = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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