Calcule os limites indicados.
\lim _{x \rightarrow \infty} x(\pi / 2-\operatorname{arctg} x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty} x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr).
Isso é um caso de indeterminação do tipo \infty\cdot0. Vamos usar uma identidade trigonométrica para transformar o produto em uma razão que permita aplicar um limite conhecido.

Passo 2

Para x>0 vale a identidade
\arctan x + \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) = \tfrac{\pi}{2}.
Logo
\tfrac{\pi}{2}-\arctan x = \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr),
e a expressão original fica
x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr) = x\,\arctan\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 3

Defina t = \tfrac1x. Quando x\to\infty, temos t\to0^+. Substituindo,
x\,\arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) = \frac{\arctan t}{t}.

Passo 4

Reconhecemos o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\arctan t}{t}=1.
Assim,
\lim_{x\to\infty}x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr) = \lim_{t\to0}\frac{\arctan t}{t} =1.

Resposta

1

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