1. Se a^{2}<3 b, deduza que a função f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c não possui máximo nem mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c
e a condição \,a^{2}<3b. O conteúdo aqui é cálculo de extremos usando derivada e discriminante de uma equação quadrática.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=3x^{2}+2a x+b.
Para que haja ponto de máximo ou mínimo local, precisamos que f'(x)=0 tenha duas raízes reais distintas.

Passo 3

O discriminante dessa equação quadrática é
\Delta = (2a)^{2}-4\cdot3\cdot b=4a^{2}-12b.
Como a^{2}<3b, segue 4a^{2}-12b<0, ou seja, \Delta<0. Logo, f'(x)=0 não tem raiz real.

Passo 4

Além disso, o coeficiente de x^{2} em f'(x) é 3>0, o que implica f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim, f é estritamente crescente em toda reta real, não tendo pontos de máximo nem de mínimo, nem locais nem globais.

Resposta

A função f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, sob a condição a^{2}<3b, não possui máximo nem mínimo.

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