Calcule os limites indicados usando a Regra de LHôpital.
lim x 0(1-cos x) cotg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limites indeterminados do tipo limxto0(1-cos x)cotg x e vamos precisar reescrever a expressão de modo a obter uma fração, identificar a forma indeterminada e aplicar L’Hôpital diferenciando numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, note que . Assim podemos escrever
e ao avaliarmos em cotg x = 1/tan x temos numerador (1-cos x)cotg x=1-cos xtan x e denominador x=0, ou seja, forma 1-cos0=0.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x. O numerador 1-cos x tem derivada sin x, e o denominador tan x tem derivada sec^2 x. Logo,
limxto01-cos xtan x=limxto0sin xsec^2 x

Passo 4

Agora simplificamos a fração derivada: sec^2 x=1/cos^2 x, então
sin xsec^2 x=sin xcdotcos^2 x
A teoria aqui é que multiplicar por cos^2 x é equivalente a dividir por sec^2 x.

Passo 5

Por fim, avaliamos o limite simplificado em x=0:
limxto0sin xcos^2 x= (sin0),(cos0)^2=0cdot1=0

Resposta

0

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