Encontre d yd x(y^prime) diferenciando implicitamente:
4 cos y sen x=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar y' = dydx a partir da equação implícita
4cos y,sin x = 1
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, e vamos usar as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados da equação em relação a x. Como o lado direito é constante, sua derivada é zero. No lado esquerdo, usemos a regra do produto entre 4cos y e sin x:
ddxl(4cos ycdotsin xr) =4l(ddx(cos y)cdotsin x + cos ycdotddx(sin x)r)
Aqui vale lembrar que ddx(cos y) = -sin ycdot y' (regra da cadeia) e ddx(sin x)=cos x.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na expressão, obtemos
4l(-sin ycdot y'cdotsin x + cos ycdotcos xr)=0

Passo 4

Agora vamos isolar y'. Primeiro expandimos e passamos termos:
-4sin y,sin x,y' + 4cos y,cos x = 0
-4sin y,sin x,y' = -4cos y,cos x
Dividindo ambos os lados por -4sin y,sin x, resulta
y' = cos y,cos xsin y,sin x

Passo 5

Podemos reescrever essa fração em termos de co-tangentes:
y' = cot x,cot y

Resposta

y' = cos x,cos ysin x,sin y = cot x,cot y

Exercícios relacionados