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diferenciando implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, usando a diferenciação implícita. A equação que a gente tem é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada termo em relação a $ x $, mesmo quando $ y $ também depende de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com relação a $ x $. Lembre-se que quando você deriva algo que tem $ y $, que depende de $ x $, você precisa usar a regra da cadeia. Vou fazer isso termo por termo.
Derivando $ x^{3} $:
Derivando $ x^{2} y $:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos $ x^{2} $ vezes $ y $.
Derivando $ 4 y^{2} $:
Usamos a regra da cadeia aqui.
Derivando o 10:
A derivada de uma constante é zero.
Passo 3
Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar $ \frac{dy}{dx} $. Vamos agrupar os termos que têm $ \frac{dy}{dx} $ e os que não têm.
Passo 4
Agora, fatoramos $ \frac{dy}{dx} $ do lado esquerdo:
Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, dividimos ambos os lados por $ (x^{2} + 8 y) $:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: