Calcule os limites indicados usando a Regra de LHôpital.
lim x pi2(pi2-x) tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtopi/2 (tfracpi2-x)tan x usando a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para limites das formas indeterminadas 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Para facilitar, fazemos a mudança de variável u=tfracpi2-x. Assim, quando xtopi/2, temos uto0, e
tan x = tanl(tfracpi2-ur)=cot u=cos usin u

Passo 3

Logo o limite vira
limxtopi/2(tfracpi2-x)tan x = limuto0 ucdotcos usin u = limuto0l(cos ucdotusin ur)

Passo 4

Note que cos uto1 quando uto0, e a fração u/sin u é indeterminada 0/0. Aplicamos L’Hôpital nessa fração:
limuto0usin u = limuto0ddu(u)ddu(sin u) = limuto01cos u = 11 =1

Passo 5

Multiplicando pelo fator cos u que vai a 1, obtemos o valor do limite igual a 1.

Resposta

1

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