Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(i) lim x 0(1ln (1+x)-1e^x-1)

Passo 1

Queremos calcular
L = limxto0l(1ln(1+x) - 1e^x - 1r)
Note que, quando xto0, temos ln(1+x)to0 e e^x-1to0, então cada fração diverge e a expressão está na forma infty - infty. Para usar a regra de L’Hospital, vamos transformar isso numa forma tfrac00.

Passo 2

Reunimos as frações num único quociente:
1ln(1+x) - 1e^x-1 = e^x - 1 - ln(1+x)ln(1+x),(e^x-1)
Quando xto0, o numerador vai a 0 e o denominador também vai a 0, caracterizando a forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital pela primeira vez, derivando numerador e denominador:
N(x) = e^x - 1 - ln(1+x) Longrightarrow N'(x) = e^x - 11+x,
D(x) = ln(1+x),(e^x-1) Longrightarrow D'(x) = 11+x,(e^x-1) + e^x,ln(1+x)
Em x=0 temos N'(0)=1-1=0 e D'(0)=0+0=0, ou seja, ainda tfrac00. Vamos de novo.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
N'(x) = e^x - 11+x Longrightarrow N''(x) = e^x + 1(1+x)^2,
D'(x) = 11+x(e^x-1) + e^xln(1+x)
Longrightarrow D''(x) = -e^x-1(1+x)^2 + e^x1+x + e^x1+x + e^xln(1+x) = -e^x-1(1+x)^2 + 2e^x1+x + e^xln(1+x)
Agora em x=0 obtemos
N''(0)=1 + 1 = 2, D''(0)=0 + 2 + 0 = 2

Passo 5

Pelo teorema de L’Hospital, o limite vale
L = N''(0)D''(0) = 22 = 1

Resposta

1

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