Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(k) lim x +infty e^x[e-(1+1x)^x]

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftye^xl[e-l(1+tfrac1xr)^xr]
Este é um limite de tipo inftycdot0. Para resolver, vamos reescrever o produto como quociente e depois usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Reescrevemos
e^xl[e-l(1+tfrac1xr)^xr] =,e-l(1+tfrac1xr)^x!e^-x
Quando xto+infty, temos
e-l(1+tfrac1xr)^xto e-e=0 e e^-xto0,
ou seja, forma 0/0. Podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital ao quociente
f(x)g(x) com
f(x)=e-l(1+tfrac1xr)^x, g(x)=e^-x,
calculamos as derivadas:
f'(x) =-l(1+tfrac1xr)^x,ddxl[xlnl(1+tfrac1xr)r] =-l(1+tfrac1xr)^xl[lnl(1+tfrac1xr)-tfrac1x+1r],
g'(x)=-e^-x
Logo,
f'(x)g'(x) =-l(1+tfrac1xr)^x!l[ln(1+tfrac1x)-tfrac1x+1r]-e^-x =l(1+tfrac1xr)^x!l[lnl(1+tfrac1xr)-tfrac1x+1r]e^x

Passo 4

Para xto+infty, usamos expansões:
lnl(1+tfrac1xr)=tfrac1x-tfrac12x^2+O(x^-3), tfrac1x+1=tfrac1x-tfrac1x^2+O(x^-3),
então
lnl(1+tfrac1xr)-tfrac1x+1 =tfrac12x^2+O(x^-3)
E sabemos l(1+tfrac1xr)^xto e. Portanto
f'(x)g'(x) sim ecdot12x^2e^x =e^x+12x^2to+infty
Pelo L’Hospital, o limite original é o mesmo do que acabamos de calcular, isto é, diverge para +infty.

Resposta

limxto+inftye^xl[e-l(1+tfrac1xr)^xr]=+infty

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