Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é uma composição: uma potência
aplicada à soma . - Precisamos aplicar regras de diferenciação para composição e para exponenciais.
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): quando uma função tem a forma
, usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia, escrita de forma simples, diz que se
então
Explicando: trata-se de derivar a potência externa
(que tem derivada
) e multiplicar pelo crescimento da parte interior
, isto é por
. Um exemplo rápido e intuitivo: a derivada de
é
porque a derivada de
é
.
Passo 3
Identificamos a função interior
. Defina
Agora vamos calcular
. Para isso usamos a regra que trata exponenciais compostas: se
então
Aplicando isso termo a termo em
:
- Para
, tome . Então e
- Para
, tome . Então e
Somando as derivadas dos termos, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia à função original
. Pela fórmula do Passo 2:
Substituindo
e
calculados:
Passo 5
(Verificação rápida por amostra) Podemos testar em
para checar coerência:
Logo
o que faz sentido numericamente. Isso não substitui prova, mas é um cheque útil.