Derive as funções abaixo:
f(x)=\left(e^{-x}+e^{x^{2}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(e^{-x}+e^{x^{2}}\right)^{3}
e pede para encontrar a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma composição: uma potência (\cdot)^{3} aplicada à soma e^{-x}+e^{x^{2}}.
  • Precisamos aplicar regras de diferenciação para composição e para exponenciais.

Passo 2

Ideia do método (sem ainda calcular): quando uma função tem a forma \big(u(x)\big)^{3}, usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia, escrita de forma simples, diz que se
F(x) = \big(u(x)\big)^{3},
então
F'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Explicando: trata-se de derivar a potência externa v \mapsto v^{3} (que tem derivada 3v^{2}) e multiplicar pelo crescimento da parte interior u(x), isto é por u'(x). Um exemplo rápido e intuitivo: a derivada de \big(\sin x\big)^{3} é 3\big(\sin x\big)^{2}\cos x porque a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 3

Identificamos a função interior u(x). Defina
u(x)=e^{-x}+e^{x^{2}}.
Agora vamos calcular u'(x). Para isso usamos a regra que trata exponenciais compostas: se h(x)=e^{w(x)} então
h'(x)=w'(x)\,e^{w(x)}.
Aplicando isso termo a termo em u(x):
  • Para e^{-x}, tome w(x)=-x. Então w'(x)=-1 e
\frac{d}{dx}e^{-x} = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.
  • Para e^{x^{2}}, tome w(x)=x^{2}. Então w'(x)=2x e
\frac{d}{dx}e^{x^{2}} = 2x\cdot e^{x^{2}} = 2x e^{x^{2}}.
Somando as derivadas dos termos, obtemos
u'(x) = -e^{-x} + 2x e^{x^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia à função original f(x)=\big(u(x)\big)^{3}. Pela fórmula do Passo 2:
f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) calculados:
f'(x)=3\left(e^{-x}+e^{x^{2}}\right)^{2}\cdot\left(-e^{-x}+2x e^{x^{2}}\right).

Passo 5

(Verificação rápida por amostra) Podemos testar em x=0 para checar coerência:
u(0)=e^{0}+e^{0}=1+1=2, \qquad u'(0)=-e^{0}+0= -1.
Logo
f'(0)=3\cdot 2^{2}\cdot(-1)=3\cdot4\cdot(-1)=-12,
o que faz sentido numericamente. Isso não substitui prova, mas é um cheque útil.

Resposta

f'(x)=3\left(e^{-x}+e^{x^{2}}\right)^{2}\left(-e^{-x}+2x e^{x^{2}}\right)

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