Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-3}{5 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2} - 3}{5x^{3}}
e questiona se esse valor implica uma assíntota horizontal. O conteúdo envolvido é cálculo de limites no infinito para função racional e interpretação de assíntota horizontal.

Passo 2

Para entender o comportamento quando x\to -\infty, dividimos numerador e denominador por x^{3}, o termo de maior grau no denominador:
\frac{2x^{2}-3}{5x^{3}} = \frac{\frac{2x^{2}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{5} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^{3}}}{5}.
À medida que x\to -\infty, temos \tfrac{2}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x^{3}}\to 0.

Passo 3

Portanto,
\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2}-3}{5x^{3}} = \frac{0 - 0}{5} = 0.

Passo 4

Como a função tende a uma constante ( 0) quando x vai a -\infty, há assíntota horizontal dada por
y = 0.

Resposta

\displaystyle 0, e existe assíntota horizontal y=0.

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