Calcule os limites no infinito: \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão é \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
A variável x aproxima-se de -\infty (ou seja, valores de x muito negativos).
A raiz quadrada \sqrt{\cdot} fornece sempre um número não negativo.
Não há outras condições especiais (o problema está bem definido para x suficientemente negativo, pois x+1\neq0 para x\to -\infty).
Passo 2
Lembrete importante e ferramenta que vamos usar: para todo x\in\mathbb{R} vale
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Isto significa que, ao manipular uma expressão do tipo \sqrt{x^{2}+1}, podemos fatorar x^{2} dentro da raiz e trabalhar com |x|. Também observe que, quando x\to -\infty, temos x<0 (para x suficientemente negativo), então
|x| = -x.
Vou usar essas duas observações para simplificar a expressão.
Aqui cancelei o fator x (que é não nulo para x\to -\infty) no numerador e denominador; a simplificação é válida para x\neq0, e estamos trabalhando com x grande em módulo.
Passo 5
Agora analisamos o limite da forma simplificada. Quando x\to -\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. As funções envolvidas (\sqrt{\cdot} e as operações de soma/divisão) são contínuas onde necessárias, então podemos passar ao limite por partes: