Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
  • A variável x aproxima-se de -\infty (ou seja, valores de x muito negativos).
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} fornece sempre um número não negativo.
  • Não há outras condições especiais (o problema está bem definido para x suficientemente negativo, pois x+1\neq0 para x\to -\infty).

Passo 2

Lembrete importante e ferramenta que vamos usar: para todo x\in\mathbb{R} vale
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Isto significa que, ao manipular uma expressão do tipo \sqrt{x^{2}+1}, podemos fatorar x^{2} dentro da raiz e trabalhar com |x|. Também observe que, quando x\to -\infty, temos x<0 (para x suficientemente negativo), então
|x| = -x.
Vou usar essas duas observações para simplificar a expressão.

Passo 3

Fatorando x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}+1} = \sqrt{x^{2}\!\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Usando \sqrt{x^{2}}=|x| obtemos
\sqrt{x^{2}+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Isso é apenas álgebra: retirei x^{2} da raiz e ficou um fator |x| multiplicando a raiz do resto.

Passo 4

Como estamos fazendo x\to -\infty, para x suficientemente negativo vale |x|=-x. Substituindo na expressão original:
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1} = \frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x+1}.
Agora escrevo o denominador de forma a poder cancelar x:
x+1 = x\left(1+\frac{1}{x}\right).
Substituindo:
\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}.
Aqui cancelei o fator x (que é não nulo para x\to -\infty) no numerador e denominador; a simplificação é válida para x\neq0, e estamos trabalhando com x grande em módulo.

Passo 5

Agora analisamos o limite da forma simplificada. Quando x\to -\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. As funções envolvidas ( \sqrt{\cdot} e as operações de soma/divisão) são contínuas onde necessárias, então podemos passar ao limite por partes:
\lim_{x\to -\infty}\left(-\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}\right) = -\frac{\sqrt{1+0}}{1+0} = -\frac{1}{1} = -1.
Importante: o denominador tende a 1 (não a 0), logo não há problema de divisão por zero no limite.

Passo 6

Intuição numérica (para acalmar a ansiedade): se você pegar x=-1000,
\frac{\sqrt{(-1000)^{2}+1}}{-1000+1}\approx\frac{1000{,}0005}{-999}\approx -1{,}001,
e conforme x fica mais negativo esse valor aproxima-se de -1. Isso confirma a conclusão obtida acima.

Resposta

-1

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