Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A variável
tende a (ou seja, valores muito negativos). - A expressão é uma razão entre um polinômio no numerador
e uma raiz quadrada no denominador . - Precisamos encontrar o valor numérico ao qual essa expressão se aproxima quando
vai para .
Passo 2
Ideia principal (explicação teórica necessária): para
com valor absoluto muito grande, as parcelas de maior grau dominam o comportamento das funções. Além disso, importante lembrete:
Quando
, temos
, portanto
. Vamos usar isso para simplificar a expressão de forma controlada.
Passo 3
Fatoramos
dentro da raiz para destacar
:
Expliquei: dividimos dentro da raiz por
(válido para
) e usamos a propriedade
.
Passo 4
Como
(ou seja,
é negativo), substituímos
. Assim a expressão original fica
Aqui já estamos cuidando do sinal corretamente — ponto crucial que muita gente escorrega se simplesmente troca
por
sem pensar no sinal.
Passo 5
Fatoramos
no numerador para simplificar a fração:
pois
. Substituindo na fração:
Os fatores
cancelam (valem zero para
, e estamos considerando
).
Passo 6
Agora aplicamos limites simples às frações internas: quando
temos
e
. Pelo teorema das operações com limites,
Expliquei: usamos que soma, produto e quociente de limites (quando bem definidos) preservam o limite, e que termos com
e
vão para zero quando
.
Passo 7
Checagem intuitiva (para fixar o raciocínio): para
muito grande em módulo e negativo,
(pois o
domina) e
. Assim a razão fica aproximadamente
, batendo com o resultado rigoroso acima. Um contraste útil: se a expressão fosse
com
, teríamos
— então atenção ao sinal do termo dominante no numerador.