Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, valores muito negativos).
  • A expressão é uma razão entre um polinômio no numerador 8-x e uma raiz quadrada no denominador \sqrt{x^{2}+7}.
  • Precisamos encontrar o valor numérico ao qual essa expressão se aproxima quando x vai para -\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação teórica necessária): para x com valor absoluto muito grande, as parcelas de maior grau dominam o comportamento das funções. Além disso, importante lembrete:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Quando x\to -\infty, temos x<0, portanto |x| = -x. Vamos usar isso para simplificar a expressão de forma controlada.

Passo 3

Fatoramos x^{2} dentro da raiz para destacar |x|:
\sqrt{x^{2}+7}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{7}{x^{2}}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}.
Expliquei: dividimos dentro da raiz por x^{2} (válido para x\neq 0) e usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}.

Passo 4

Como x\to -\infty (ou seja, x é negativo), substituímos |x|=-x. Assim a expressão original fica
\frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}=\frac{8-x}{-x\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.
Aqui já estamos cuidando do sinal corretamente — ponto crucial que muita gente escorrega se simplesmente troca \sqrt{x^{2}} por x sem pensar no sinal.

Passo 5

Fatoramos -x no numerador para simplificar a fração:
8-x = -x\left(1-\frac{8}{x}\right),
pois -x\left(1-\frac{8}{x}\right) = -x + 8 = 8-x. Substituindo na fração:
\frac{8-x}{-x\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}=\frac{-x\left(1-\frac{8}{x}\right)}{-x\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}=\frac{1-\frac{8}{x}}{\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.
Os fatores -x cancelam (valem zero para x\neq0, e estamos considerando x\to -\infty).

Passo 6

Agora aplicamos limites simples às frações internas: quando x\to -\infty temos \frac{8}{x}\to 0 e \frac{7}{x^{2}}\to 0. Pelo teorema das operações com limites,
\lim_{x\to -\infty}\frac{1-\frac{8}{x}}{\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}=\frac{1-0}{\sqrt{1+0}}=\frac{1}{1}=1.
Expliquei: usamos que soma, produto e quociente de limites (quando bem definidos) preservam o limite, e que termos com 1/x e 1/x^{2} vão para zero quando x\to\pm\infty.

Passo 7

Checagem intuitiva (para fixar o raciocínio): para x muito grande em módulo e negativo, 8-x\approx -x (pois o -x domina) e \sqrt{x^{2}+7}\approx \sqrt{x^{2}}=|x|=-x. Assim a razão fica aproximadamente (-x)/(-x)=1, batendo com o resultado rigoroso acima. Um contraste útil: se a expressão fosse \dfrac{x+8}{\sqrt{x^{2}+7}} com x\to -\infty, teríamos \approx x/(-x)=-1 — então atenção ao sinal do termo dominante no numerador.

Resposta

1

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