Calcule os limites infinitos. Escreva a equação das retas assíntotas verticais. Indique o tipo de descontinuidade que ocorre no valor de x investigado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{1-\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para analisar
f(x)=\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}
quando x\to0. Vamos calcular os limites laterais, identificar a reta assíntota vertical e classificar o tipo de descontinuidade em x=0.

Passo 2

Usamos a identidade
1-\cos(x)=2\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
então
\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} =\frac{\sin(x)}{2\sin^2(x/2)} =\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} =\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} =\cot\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).

Passo 3

Para os limites laterais temos
\lim_{x\to0^+}\cot\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\cot\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)=-\infty.

Passo 4

Como o valor de f(x) tende a +\infty de um lado e a -\infty do outro ao nos aproximarmos de x=0, há uma reta assíntota vertical dada por
x=0.

Passo 5

A descontinuidade em x=0 é do tipo infinita, pois os limites laterais são infinitos e diferentes.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}=+\infty,\quad \lim_{x\to0^-}\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}=-\infty
Assíntota vertical: x=0
Tipo de descontinuidade: infinita.

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