Calcule os limites infinitos. Escreva a equação das retas assíntotas verticais. Indique o tipo de descontinuidade que ocorre no valor de x investigado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x},
além de identificar retas de assíntota vertical nesse ponto e o tipo de descontinuidade em x=0. O conteúdo necessário é limites de funções com forma indeterminada e classificação de descontinuidade.

Passo 2

Tentamos substituição direta em
\displaystyle \frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x}
em x=0, mas obtemos \frac{0}{0}, forma indeterminada. Para resolver, usamos o limite fundamental
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.

Passo 3

Reescrevemos
\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x} = x\;\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}}.
Ao deixar u=x^{2}, temos \operatorname{sen}(x^{2})/(x^{2})\to1 quando x\to0.

Passo 4

Como x\to0 e \operatorname{sen}(x^{2})/(x^{2})\to1, o produto tende a
\lim_{x\to0}x\cdot1=0.
Logo o limite existe e é finito.

Passo 5

Não há crescimento sem limite em nenhuma das vizinhanças de 0, portanto não se forma nenhuma reta de assíntota vertical. A função não está definida em x=0 mas o limite existe e é finito, caracterizando uma descontinuidade removível.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x}=0.
Não há assíntota vertical.
Tipo de descontinuidade em x=0: removível.

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