Calcule os limites infinitos
j) lim x 2 x^2-1x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comportamento da função f(x)=x^2-1x^2-2x quando x se aproxima de 2. O tema é limite infinito em ponto de descontinuidade, e vamos precisar fatorar numerador e denominador e analisar o sinal de cada fator próximo de 2.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador separadamente. O numerador x^2-1 é uma diferença de quadrados e fatoriza como (x-1)(x+1). O denominador x^2-2x fatoriza em x(x-2). Assim
f(x)=x^2-1x^2-2x=(x-1)(x+1)x(x-2)

Passo 3

Para ver o comportamento quando xto2, note que o numerador em x=2 é (2-1)(2+1)=3>0. O denominador em torno de 2 tem fatores x (sempre positivo perto de 2) e x-2, que muda de sinal: para x>2 é positivo e para x<2 é negativo.

Passo 4

Assim, quando x se aproxima de 2 pela direita ( xto2^+), o denominador fica positivo muito pequeno, e f(x)to+infty. Quando x se aproxima pela esquerda ( xto2^-), o denominador fica negativo muito pequeno, e f(x)to-infty.

Resposta

limxto2^+x^2-1x^2-2x=+infty e limxto2^-x^2-1x^2-2x=-infty.

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