Seja R a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^1 / 2.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o volume de um sólido gerado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = \sqrt{x} $ gira em torno do eixo $ x $. A gente vai usar cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando $ x^2 = \sqrt{x} $, temos:
x^2 = raizx
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 = x^1/2
Subtraindo $ x $ de ambos os lados:
(x^2)^2 = (x^1/2)^2 Rightarrow x^4 = x
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $, vamos visualizar qual curva está por cima em cada intervalo. Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
  • $ y = \sqrt{x} $ é maior que $ y = x^2 $ porque, por exemplo, em $ x = 0.5 $:
    x = 0
Então, a região $ R $ está limitada por $ y = \sqrt{x} $ de cima e $ y = x^2 $ de baixo.

Passo 4

Para encontrar o volume quando giramos a região em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos:
x
Aqui, $ f(x) = \sqrt{x} $ e $ g(x) = x^2 $, e os limites de integração são de $ a = 0 $ a $ b = 1 $.

Passo 5

Vamos montar a integral:
V = pi integral0^1 [ (raizx)^2 - (x^2)^2 ] dx = pi integral0^1 [ x - x^4 ] dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 ( x - x^4 ) dx = integral0^1 x , dx - integral0^1 x^4 , dx
Calculando cada parte:
integral x , dx = x^22 e integral x^4 , dx = x^55
Avaliano nos limites de 0 a 1:
[ 1^22 - 1^55 ] - [ 0^22 - 0^55 ] = 12 - 15 = 510 - 210 = 310

Resposta

Então, o volume do sólido gerado é:
V = pi times 310 = 3pi10

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