Seja
a região limitada pelas curvas
e
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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo
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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o volume de um sólido gerado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = \sqrt{x} $ gira em torno do eixo $ x $. A gente vai usar cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando $ x^2 = \sqrt{x} $, temos:
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo $ x $ de ambos os lados:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $, vamos visualizar qual curva está por cima em cada intervalo. Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
-
$ y = \sqrt{x} $ é maior que $ y = x^2 $ porque, por exemplo, em $ x = 0.5 $:
Então, a região $ R $ está limitada por $ y = \sqrt{x} $ de cima e $ y = x^2 $ de baixo.
Passo 4
Para encontrar o volume quando giramos a região em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos:
Aqui, $ f(x) = \sqrt{x} $ e $ g(x) = x^2 $, e os limites de integração são de $ a = 0 $ a $ b = 1 $.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Avaliano nos limites de 0 a 1:
Resposta
Então, o volume do sólido gerado é: